PDF-версии: 1. Тип 22 № 2259 
Классификатор алгебры: Уравнения с параметром
Задачi з параметром. Завдання для підготовки
i
Визначте найменше ціле значення a, за якого один із коренів рівняння
належить проміжку (30; 100).
Відповідь: ,.
Решение. Пусть 
тогда исходное уравнение записывается в виде
откуда 
или 
то есть 
или 
Из первого уравнения 
этот корень не лежит в интервале (30; 100). Из второго уравнения 
Найдем наименьшее целое значение a, при котором корень этого уравнения принадлежит интервалу (30; 100):
Полученному неравенству удовлетворяют целые числа 5 и 6. Наименьшее из них равно 5.
Ответ: 5.
Примечание.
Искать корни квадратного уравнения удобно по теореме, обратной теореме Виета. Например, для уравнения
а произведение равно –a. Ясно, что это числа 
и 
Ответ: 5
2259
5
Классификатор алгебры: Уравнения с параметром
такие, что уравнение 
имеет ровно один корень.
тогда 
Чтобы исходное уравнение имело ровно один корень, полученное уравнение должно иметь:
что соответствует условию положительности корня.
тогда 
т. е. 
откуда 
откуда 
равна 
а их произведение равно 
Следовательно, это числа 4 и 
Чтобы исходное уравнение имело ровно одно решение, полученное уравнение должно иметь ровно одно положительное решение. Для этого корень 
либо должен совпадать с числом 4, либо быть неположительным. Отсюда находим: 
и 
такие, что уравнение 
имеет ровно один корень.
тогда 
Чтобы исходное уравнение имело ровно один корень, полученное уравнение должно иметь:
что соответствует условию положительности корня.
тогда 
откуда 
окончательно получаем 
такие, что уравнение 
имеет ровно один корень.
Чтобы исходное уравнение имело ровно один корень, полученное уравнение должно иметь:
что соответствует условию положительности корня.
тогда 
откуда 
откуда 
окончательно получаем 
такие, что уравнение 
имеет ровно один корень.
тогда 
Чтобы исходное уравнение имело ровно один корень, полученное уравнение должно иметь:
что соответствует условию положительности корня.
тогда 
откуда 
такие, что уравнение 
имеет на 
единственное решение.
такие, что уравнение 
имеет ровно один корень.
имеет с графиком функции 
единственную общую точку, т. е. при 
или в случае касания. Преобразуем уравнение:
равен нулю, откуда 
такие, что уравнение 
имеет ровно один корень.
тогда уравнение 
имеет решение, а уравнение 
— не имеет решений; 
тогда уравнение 
но уравнения 
что возможно при 
имеет единственное решение.
является 
.
слагаемое a2 больше 0, а, значит, исходное неравенство не имеет решений.
имеет единственное решение.
является 
.
— нет решений.
гарантированно больше 0, а, значит, исходное неравенство так же не имеет решений.
является следствием неравенства 
следует неравенство 
и 
равносильны.
и 
Чтобы эти уравнения были равносильны между собой, их множества решений должны совпадать: либо 
либо оба уравнения не имеют решений. В первом случае 
но второе значение параметра является посторонним, поскольку этому значению соответствуют два решения первого уравнения. Во втором случае — 
Следовательно, наибольшее целое значение равно 0.
и 
и 
второе — к 
и 
Однако второе уравнение будет иметь корень при любых значениях a, причём этот корень не входит во множество решений первого уравнения, тогда единственный возможный случай — 
тогда неравенство примет вид 
то можно немного увеличить t и получить другое решение. Значит, 
поэтому 
При меньших a можно взять 
для положительных a и 
для отрицательных a и получить решение, для которого 
а произведение равно a. Ясно, что это числа 
и 
или 
Из первого уравнения 
этот корень не лежит в интервале (40; 130). Из второго уравнения 
где x — переменная, a — параметр. Найдите наименьшее значение параметра a, при котором неравенство справедливо для всех действительных x.
неравенство обращается в равенство.
поделим на 
Получим 
при всех 
Очевидно, для этого нужно, чтобы 
то есть 
поделим на 
Получим 
при всех 
Очевидно, для этого нужно, чтобы 
то есть 
де x – змінна, a – параметр. Найдите наименьшее целое значение параметра a, при котором множество решений неравенства содержит отрезок [4; 7].
функция 
убывает. Значит, чтобы отрезок 
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство 
Наименьшее целое значение a равно −2.
задается промежутком [−1; 1]. Найдем значения a, при которых уравнение 
имеет решения:
Таким образом, наименьшее значение a, при котором уравнение имеет решение, равно 
или -3,5.
задается промежутком [−1; 1]. Найдем значения a, при которых уравнение 
имеет решения:
Таким образом, наибольшее значение a, при котором уравнение 
имеет решения:
Таким образом, наибольшее значение a, при котором уравнение 
имеет решения:
Таким образом, наибольшее значение a, при котором уравнение 
имеет решения:
Таким образом, наибольшее целое значение a, при котором уравнение 
имеет решения:
Таким образом, наименьшее целое значение a, при котором уравнение 
має лише один корінь. Якщо таких значень кілька, то запишіть у відповіді їхній добуток.
уравнение будет иметь корень 
, а при 
корень 
Эти два корня не равны пяти, значит, 
и 
подходят.
в это уравнение и найдем a:
исходное уравнение будет иметь один корень.
задовольняють умову 
при всех значениях параметра. Должно быть выполнено условие:
на 6 бiльший вiд iншого.
