СКЛАДУ НМТ: завдання, відповіді, рішення

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 22 № 2446 Добавить в вариант

Визначте найбільше ціле значення a, за якого один із коренів рівняння

$логарифм по основанию 2 в квадрате x минус левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка логарифм по основанию 2 x плюс a = 0$

належить проміжку (40; 130).

Відповідь: ,.

Спрятать решение

Решение.

Пусть $t= логарифм по основанию 2 x,$ тогда исходное уравнение записывается в виде

$t в квадрате минус левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка t плюс a = 0.$

Найдем корни квадратного уравнения по теореме, обратной теореме Виета: сумма корней равна $a плюс 1,$ а произведение равно a. Ясно, что это числа $t=1$ и $t=a,$ откуда $логарифм по основанию 2 x = 1$ или $логарифм по основанию 2 x = a.$ Из первого уравнения $x = 2,$ этот корень не лежит в интервале (40; 130). Из второго уравнения $x=2 в степени a .$ Найдем наибольшее целое значение a, при котором корень этого уравнения принадлежит интервалу (40; 130):

$40 меньше 2 в степени a меньше 130.$

Полученному неравенству удовлетворяют целые числа 6 и 7. Наибольшее из них равно 7.

Ответ: 7.

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Спрятать решение