СКЛАДУ НМТ — математика

Задания

Тип 22 № 2421 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Задачi з параметром. Завдання для підготовки

Определите, при каких значениях параметра a, $a больше или равно 1,$ такие, что уравнение $4 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус левая круглая скобка 5a минус 3 правая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 4a в квадрате минус 3a=0$ имеет ровно один корень.

Відповідь: ,.

Решение. Пусть $t=2 в степени x ,$ тогда $t в квадрате минус левая круглая скобка 5a минус 3 правая круглая скобка t плюс 4a в квадрате минус 3a=0.$ Чтобы исходное уравнение имело ровно один корень, полученное уравнение должно иметь:

− единственный корень, который положителен (случай 1);

− два корня, один из которых положительный, а второй отрицательный (случай 2);

− два корня, один из которых положительный, а второй равен нулю (случай 3).

Случай 1. Дискриминант квадратного уравнения должен быть равен нулю:

$левая круглая скобка 5a минус 3 правая круглая скобка в квадрате минус 4 левая круглая скобка 4a в квадрате минус 3a правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно 25a в квадрате минус 30a плюс 9 минус 16a в квадрате плюс 12a=0 равносильно$
$равносильно 9a в квадрате минус 18a плюс 9=0 равносильно a в квадрате минус 2a плюс 1=0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка в квадрате =0 равносильно a=1.$ $левая круглая скобка 5a минус 3 правая круглая скобка в квадрате минус 4 левая круглая скобка 4a в квадрате минус 3a правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно 25a в квадрате минус 30a плюс 9 минус 16a в квадрате плюс 12a=0 равносильно$
$равносильно 9a в квадрате минус 18a плюс 9=0 равносильно$
$равносильно a в квадрате минус 2a плюс 1=0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка в квадрате =0 равносильно a=1.$

Тогда $t= дробь: числитель: 5a минус 3, знаменатель: 2 конец дроби =1,$ что соответствует условию положительности корня.

Случай 2. Пусть $f левая круглая скобка t правая круглая скобка =t в квадрате минус левая круглая скобка 5a минус 3 правая круглая скобка t плюс 4a в квадрате минус 3a,$ тогда $f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка меньше 0,$ т. е. $4a в квадрате минус 3a меньше 0,$ откуда $0 меньше a меньше дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби .$

Случай 3. Необходимо и достаточно выполнения системы $система выражений f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =0,t_в больше 0 конец системы .$ откуда

$система выражений 4a в квадрате минус 3a=0, дробь: числитель: 5a минус 3, знаменатель: 2 конец дроби больше 0 конец системы . равносильно система выражений совокупность выражений a=0,a= дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби конец системы . дробь: числитель: 5a минус 3, знаменатель: 2 конец дроби больше 0 конец совокупности . равносильно a= дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби$ $система выражений 4a в квадрате минус 3a=0, дробь: числитель: 5a минус 3, знаменатель: 2 конец дроби больше 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений совокупность выражений a=0,a= дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби конец системы . дробь: числитель: 5a минус 3, знаменатель: 2 конец дроби больше 0 конец совокупности . равносильно a= дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби$

Объединяя рассмотренные случаи с учетом условия $a больше или равно 1,$ окончательно получаем $a=1.$

Ответ: $a принадлежит левая фигурная скобка 1 правая фигурная скобка .$

Ответ: 1

2421

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	2421	1