СКЛАДУ НМТ — математика

Багатогранники

Відрізок ОВ є проекцією похилої АВ на площину $альфа$ (див. рисунок). Які з наведених тверджень є правильними?

I. Відрізки AB і OB перпендикулярні.

II. Відрізки AB і OA перпендикулярні.

III. Відрізки OB і OA перпендикулярні.

Точка A належить площинi α. Яки з наведених тверджнь є правильными?

I. Через точку A можна провести пряму, перпендикулярну до площини α.

II. Через точку A можна провести площину, перпендикулярну до площини α.

III. Через точку A можна провести площину, паралельну площини α.

Площини α i β паралельнi. Якi з наведених тверджень є правильними?

I. Iснує пряма, що лежить i в площинi α i в площини β.

II. Якщо пряма перпендикулярна до площини α, то вона перпендикулярна до площини β.

III. Якщо пряма лежить у площинi α, то вона паралельна будь-якiй прямiй у площинi β.

У просторі задано паралельні прямі тій. Які з наведених тверджень є правильними?

I. Існує площина, що містить обидві прямі m і n.

II. Існує пряма, що перетинає обидві прямі m і n.

III. Існує точка, що належить обом прямим m і n.

У просторі задано пряму m і точку A, яка не належить m. Які з наведених тверджень є правильними?

I. Через точку A і пряму m можна провести лише одну площину.

II. Через точку А можна провести лише одну площину, паралельну прямій m.

III. Через точку А можна провести лише одну площину, перпендикулярну до прямої m.

Решение. Вершина B прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ совпадает с точкой начала координат. Ребра BA, BC, BB₁ параллелепипеда принадлежат на осях x, y, z соответственно, поэтому плоскости, содержащие грани параллелепипеда, перпендикулярны соответствующим осям координат. Вершина D₁ имеет координаты (4; 8; 12), по ним можно определить координаты остальных вершин параллелепипеда. Точка A является точкой пересечения плоскости, которая проходит через точку D₁ перпендикулярно оси x, поэтому абсцисса точки A совпадает с абсциссой точки D₁, они равны 4. Координаты y и z точки A равны 0, так как точка A лежит на оси x. Поэтому A (4; 0; 0). Аналогично определим координаты точки C: (0; 8; 0).

1. Точка M — середина отрезка BC. Ее координаты можно определить по формуле:

$x_M = дробь: числитель: x_B плюс x_C, знаменатель: 2 конец дроби ;$ $y_M = дробь: числитель: y_B плюс y_C, знаменатель: 2 конец дроби ;$ $z_M = дробь: числитель: z_B плюс z_C, знаменатель: 2 конец дроби .$

Координаты середины отрезка BC найдем по формуле:

$левая круглая скобка дробь: числитель: 0 плюс 0, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 0 плюс 8, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 0 плюс 0, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка .$

Итак, 1 — Г.

2. Для того, чтобы найти координаты вектора $\overrightarrowBA,$ вычтем из координат конечной точки координаты точки начала вектора:

$\overrightarrowBA левая круглая скобка 4 минус 0; 0 минус 0; 0 минус 0 правая круглая скобка = левая круглая скобка 0; 4; 0 правая круглая скобка .$

Итак, 2 — Б.

Отметим, что если точка, являющаяся началом вектора, совпадает с точкой начала координат, то координаты вектора совпадают с координатами его конечной точки.

3. Ребро DD₁ параллельно оси z. Значит, координаты каждой точки, принадлежащей данному ребру, имеют вид (4; 8; z), причем $z принадлежит левая квадратная скобка 0; 12 правая квадратная скобка .$ Точка, удаленная от вершины D на 4 единицы и лежащая на ребре DD₁, имеет координаты (4; 8; 4). Таким образом, 3 — Д.

4. Координатная плоскость yz задается уравнением x = 0. Рассматривая точку C₁ как проекцию точки D₁ на плоскость yz, получим ее координаты: (0; 8; 12). Следовательно, 4 — А.

Ответ: 1 — Г, 2 — Б, 3 — Д, 4 — А.

22.  

Які з наведених тверджень є правильними?

I. Чи паралельні прямі a та b, якщо ці прямі не мають спільних точок.

II. Чи паралельні прямі a та b, якщо ці прямі лежать у паралельних площинах?

III. Чи паралельні прямі a та b, якщо відомо, що прямі a та c паралельні, прямі b та c паралельні?

23.  

Які з наведених тверджень є правильними?

I. Чи вірно, що якщо пряма паралельна двом площинам, що перетинаються, то лінія їх перетину паралельна даній площині?

II. Чи паралельні прямі a та b, якщо відомо, що прямі a та c паралельні, прямі b та c паралельні?

III. Чи вірно, що пряма, паралельна площині, паралельна всім прямим, що лежать у площині?

25.  

Які з наведених тверджень є правильними?

I. Чи вірно, що якщо дві прямі паралельні площині, то ці прямі паралельні?

II. Чи вірно, якщо пряма а паралельна прямій b, а b паралельна площині α, то a паралельна площині α?

III. Чи вірно, що якщо площина проходить через пряму, паралельну до іншої площини, і перетинає цю площину, то пряма перетину цих площин паралельна даній прямій.

26.  

Які з наведених тверджень є правильними?

I. Чи вірно, що прямі a та b схрещуються, якщо ці прямі лежать у різних площинах?

II. Чи вірно, що прямі a та b перетинаються, якщо будь-яка площина, проведена через пряму a та точку, що належить прямій b, перетинає b?

III. Чи вірно, що прямі a та b перетинаються, якщо ці прямі не мають спільних точок?

№ п/п	№ задания	Ответ
1	1434	Г А Б
2	1478	4
3	1479	4
4	1480	3
5	1481	5
6	1482	2
7	1512	Б Г Д А
8	1516	Г Б Д А
9	1520	В Б А Г
10	1524	А Г В Б
11	1527	Б Г Д А
12	1531	АГБД
13	1536	В Б А Г
14	1540	Б А Д В
15	1544	В Г
16	1548	Б А Г
17	1552	Д В Б
18	1555	В А Д
19	1560	В Г А
20	1563	Б А В
21	1567	Б А Г
22	1597	3
23	1598	2
24	1599	В А Г
25	1600	5
26	1601	3

Ключ