СКЛАДУ НМТ — математика

Задания

Тип 22 № 2422 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Задачi з параметром. Завдання для підготовки

Определите, при каких значениях параметра a, $дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби меньше a меньше или равно 6,$ такие, что уравнение $16 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка минус левая круглая скобка 4a минус 1 правая круглая скобка 4 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 3a в квадрате минус a=0$ имеет ровно один корень.

Відповідь: ,.

Решение. Пусть $t=4 в степени x ,$ тогда $t в квадрате минус левая круглая скобка 4a минус 1 правая круглая скобка t плюс 3a в квадрате минус a=0.$ Чтобы исходное уравнение имело ровно один корень, полученное уравнение должно иметь:

− единственный корень, который положителен (случай 1);

− два корня, один из которых положительный, а второй отрицательный (случай 2);

− два корня, один из которых положительный, а второй равен нулю (случай 3).

Случай 1. Дискриминант квадратного уравнения должен быть равен нулю:

$левая круглая скобка 4a минус 1 правая круглая скобка в квадрате минус 4 левая круглая скобка 3a в квадрате минус a правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно 16a в квадрате минус 8a плюс 1 минус 12a в квадрате плюс 4a=0 равносильно 4a в квадрате минус 4a плюс 1=0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 2a минус 1 правая круглая скобка в квадрате =0 равносильно a= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$ $левая круглая скобка 4a минус 1 правая круглая скобка в квадрате минус 4 левая круглая скобка 3a в квадрате минус a правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно 16a в квадрате минус 8a плюс 1 минус 12a в квадрате плюс 4a=0 равносильно$
$равносильно 4a в квадрате минус 4a плюс 1=0 равносильно левая круглая скобка 2a минус 1 правая круглая скобка в квадрате =0 равносильно a= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$ $левая круглая скобка 4a минус 1 правая круглая скобка в квадрате минус 4 левая круглая скобка 3a в квадрате минус a правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно 16a в квадрате минус 8a плюс 1 минус 12a в квадрате плюс 4a=0 равносильно$
$равносильно 4a в квадрате минус 4a плюс 1=0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка 2a минус 1 правая круглая скобка в квадрате =0 равносильно a= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

Тогда $t= дробь: числитель: 4a минус 1, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,$ что соответствует условию положительности корня.

Случай 2. Пусть $f левая круглая скобка t правая круглая скобка =t в квадрате минус левая круглая скобка 4a минус 1 правая круглая скобка t плюс 3a в квадрате минус a,$ тогда $f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка меньше 0,$ т. е. $3a в квадрате минус a меньше 0,$ откуда $0 меньше a меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .$

Случай 3. Необходимо и достаточно выполнения системы $система выражений f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =0,t_в больше 0 конец системы .$ откуда

$система выражений 3a в квадрате минус a=0, дробь: числитель: 4a минус 1, знаменатель: 2 конец дроби больше 0 конец системы . равносильно система выражений совокупность выражений a=0,a= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби , конец системы . дробь: числитель: 4a минус 1, знаменатель: 2 конец дроби больше 0 конец совокупности . равносильно a= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби$

Объединяя рассмотренные случаи с учетом условия $дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби меньше a меньше или равно 6,$ окончательно получаем $a= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

Ответ: $a принадлежит левая фигурная скобка 0,5 правая фигурная скобка .$

Ответ: 0&5

2422

0 5

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	2422	0 5