СКЛАДУ НМТ — математика

Задания

Тип 22 № 2420 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Задачi з параметром. Завдання для підготовки

Определите, при каких значениях параметра a, $a меньше 2,$ такие, что уравнение $64 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс левая круглая скобка a минус 4 правая круглая скобка 8 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 4 минус 2a=0$ имеет ровно один корень.

Відповідь: ,.

Решение. Пусть $t=8 в степени x ,$ тогда $t в квадрате плюс левая круглая скобка a минус 4 правая круглая скобка t плюс 2 левая круглая скобка 2 минус a правая круглая скобка =0.$ Чтобы исходное уравнение имело ровно один корень, полученное уравнение должно иметь:

− единственный корень, который положителен (случай 1);

− два корня, один из которых положительный, а второй отрицательный (случай 2);

− два корня, один из которых положительный, а второй равен нулю (случай 3).

Случай 1. Дискриминант квадратного уравнения должен быть равен нулю:

$левая круглая скобка a минус 4 правая круглая скобка в квадрате минус 8 левая круглая скобка 2 минус a правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно a в квадрате минус 8a плюс 16 минус 16 плюс 8a=0 равносильно a в квадрате =0 равносильно a=0.$ $левая круглая скобка a минус 4 правая круглая скобка в квадрате минус 8 левая круглая скобка 2 минус a правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно a в квадрате минус 8a плюс 16 минус 16 плюс 8a=0 равносильно$
$равносильно a в квадрате =0 равносильно a=0.$

Тогда $t= дробь: числитель: 4 минус a, знаменатель: 2 конец дроби =2,$ что соответствует условию положительности корня.

Случай 2. Пусть $f левая круглая скобка t правая круглая скобка =t в квадрате плюс левая круглая скобка a минус 4 правая круглая скобка t плюс 4 минус 2a,$ тогда $f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка меньше 0,$ т. е. $4 минус 2a меньше 0,$ откуда $a больше 2.$

Случай 3. Необходимо и достаточно выполнения системы $система выражений f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =0,t_в больше 0, конец системы .$ откуда

$система выражений 4 минус 2a=0, дробь: числитель: 4 минус a, знаменатель: 2 конец дроби больше 0 конец системы . равносильно a=2.$

Объединяя рассмотренные случаи с учетом условия $a меньше 2,$ окончательно получаем $a=0.$

Ответ: $a принадлежит левая фигурная скобка 0 правая фигурная скобка .$

Ответ: 0

2420

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	2420	0